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  Bundeswettbewerb Mathematik 2008 |
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krischi
Ehemals Aktiv 
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 |  Beitrag No.160, eingetragen 2008-04-09
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Meine Aufgaben waren beide Zahlentheorie-Aufgaben, aber ziemlich einfach.
Hast du deine nicht auf Computer geschrieben?
Stell doch erst nur die Aufgaben rein, dann haben wir was zu knobeln!
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robertoprophet
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 | Beitrag No.161, vom Themenstarter, eingetragen 2008-04-09
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Na gut 
Ich fange mit meiner 1. an:
Es sei z=n*(n^250+246!-116). Man untersuche, für welche natürlichen Zahlen n die Zahl z durch 2008 teilbar ist.
Anmerkung: Die Richtigkeit des Resultates ist zu beweisen.
Viel Spaß
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krischi
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| Beitrag No.162, eingetragen 2008-04-09
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OK, dann folge ich mit meinen:
Die erste...
Aufgabe 1
Beweise, dass für jede Zahl k im n-adischen Zahlensystem die Endziffern aller Potenzen k^m mit m >= n zyklisch verlaufen, wobei die Zyklenlänge nicht größer als n ist.
...und die zweite:
Aufgabe 2
Berechne 2008^2008 mod 100!
Wie schon gesagt, sie sind relativ einfach.  
Viele Grüße,
Krischi
[ Nachricht wurde editiert von krischi am 09.04.2008 20:57:19 ]
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robertoprophet
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| Beitrag No.163, vom Themenstarter, eingetragen 2008-04-09
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Wenn ich mich nicht verechnet habe kommt bei deiner zweiten 16 raus. 1. klingt schon interessanter.
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krischi
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| Beitrag No.164, eingetragen 2008-04-09
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Ja, 16 ist richtig. Ich sag doch, die ist einfach!
Wenn du die erste hast, sag Bescheid!
Ist aber auch einfach!
Krischi
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robertoprophet
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| Beitrag No.165, vom Themenstarter, eingetragen 2008-04-09
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Ja, mach ich. Dann solltest du dich aber auch an meiner versuchen Die anderen 2 poste ich erst wenn die erste gelöst ist
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krischi
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| Beitrag No.166, eingetragen 2008-04-10
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Lukas92
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| Beitrag No.167, eingetragen 2008-04-24
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Hi
@ robertoprophet
Ich bin mir bei deiner Aufgabe ziemlich sicher, dass z durch 2008 teilbar ist, wenn n gerade ist.
Ich hab leider jetzt nicht genug Zeit den Beweis aufzuschreiben, aber ich hab ihn.
Viele Grüße Lukas
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robertoprophet
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| Beitrag No.168, vom Themenstarter, eingetragen 2008-04-25
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Das klingt schon mal gut...
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krischi
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| Beitrag No.169, eingetragen 2008-04-25
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das war auch meine Vermutung, ich hatte nur noch keinen Beweis... und dann habe ich die Aufgabe vergessen, tut mir Leid. Habt ihr euch schon mal mit meiner Zweiten beschäftigt?
Krischi
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robertoprophet
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| Beitrag No.170, vom Themenstarter, eingetragen 2008-04-26
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Obwohl der Beweis zu meiner ersten Aufgabe fehlt hier meine zweite:
Es sei für alle positiven reellen Zahlen a;b;c;d
(a^2+b^2+c^2+d^2)*(bcd+acd+abd+abc)^2*63001>=x^2*(abcd)^2. (1)
Man untersuche, für welche nichtnegativen reellen x (1) gilt.Außerdem gebe man an, wann dann das Gleichheitszeichen in (1) gilt.
Anmerkung: Die Richtigkeit des Resultates ist zu beweisen.
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fru
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 | Beitrag No.171, eingetragen 2008-04-26
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Hallo Roberto!
Der Beweis Deiner ersten Aufgabe ergibt sich leicht durch Anwenden der Sätze von Fermat (für die Potenz) und von Wilson (für die Fakultät).
Liebe Grüße, Franz
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robertoprophet
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| Beitrag No.172, vom Themenstarter, eingetragen 2008-04-26
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Genau. Daher zeichnet sich die Aufgabe auch nicht besonders aus, wie ZetaX es schon erwähnt hat (im allgemeinen Sinne). Da die Sätze, eher der des Wilson, nicht so bekannt sind, vor allem bei jüngeren Schülern, regt die Aufgabe vielleicht den ein oder anderen an sich mal ein wenig mehr mit der Zahlentheorie zu beschäftigen.
[ Nachricht wurde editiert von robertoprophet am 26.04.2008 23:10:49 ]
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krischi
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| Beitrag No.173, eingetragen 2008-04-27
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Warum löst eigentlich keiner meine Aufgabe? Die ist doch nicht so schwer! Versucht es doch mal!
Krischi
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robertoprophet
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| Beitrag No.174, vom Themenstarter, eingetragen 2008-05-29
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Hallo, ich kann die Bewertung meiner Lösung von Aufgabe 3 nicht verstehen. Ich poste meine Lösung einfach mal rein (Skizze kommt auch bald):
verwendete Bezeichnungen:
-gemeinsame Punkt von BC, w_\alpha und dem Kreis mit dem Mittelpunkt H_c und dem Radius H_c A sei W_\alpha
-Berührungspunkt von s_b und AC sei S_b
-Schnittpunkt von s_b und H_c W_\alpha sei P
-Schnittpunkt von W_\alpha und h_c sei S
-\measuredangle\ W_\alpha AB=\alpha/2 bzw. \measuredangle\ CAB=\alpha
-Hilfsparallele p, die parallel zu AC ist und durch S verläuft sowie AB in H und BC in G schneidet
Beweis:
Zu beweisen ist also, dass S auf s_b liegt. Das Dreieck AH_c W_\alpha ist gleichschenklig, da A und W_\alpha auf dem Kreis mit dem Mittelpunkt H_c liegen. Also ist AH_c=H_c W_\alpha , da die Strecken beides Radien sind.
Darüberhinaus sind die Basiswinkel H_c AW_\alpha und AW_\alpha H_c gleich groß. Der Außenwinkel vom Dreieck AH_c W_\alpha \measuredangle\ BH_c W_\alpha ist demzufolge 2*\measuredangle\ H_c AW_\alpha=\measuredangle\ H_c AC.
Daher sind AC und H_c W_\alpha gemäß der Umkehrung des Stufenwinkelsatzes an geschnittenen Parallelen parallel. Das Viereck AH_c W_\alpha C ist also ein Trapez mit den Diagonalen AW_\alpha und H_c C bzw. h_c und w_\alpha. Der Diagonalenschnittpunkt ist also S. Nun wird erst einmal bewiesen, dass für jeden beliebigen Punkt K auf s_b gilt, dass LK=KR ist, wobei LR parrallel zu AC ist, durch K verläuft und L auf AB liegt sowie R auf BC. Die Dreiecke S_b BC und KBR sind ähnlich, da bei beiden Dreiecken der Winkel KBR vorhanden ist und \measuredangle\ BCS_b=\measuredangle\ BRK (Stufenwinkel). Analog gilt das für die Dreiecke ABS_b und LBK. Der Strahlensatz wird nun verwendet:
(CS_b)/(BS_b)=(KR)/(KB), (AS_b)/(BS_b)=(LK)/(KB) und da AS_b=CS_b gilt, ist offensichtlich KR=LK. Aus der Umkehrung aus dieser Tatsache folgt, dass ein Punkt K genau dann auf s_b liegt, wenn LK=KR gilt. Wenn also gezeigt wird, dass HS=SG ist, folgt daraus, dass S auf s_b liegt und damit schneiden sich h_c s_b und w_\alpha in einem Punkt unter den gegebenen Voraussetzungen.
ASC~H_c W_\alpha S , weil \measuredangle\ ASC=\measuredangle\ H_c S W_\alpha (Scheitelwinkel) und \measuredangle\ ACS=\measuredangle\ SH_c W_\alpha (Wechselwinkel). Wiederum kann der Strahlensatz verwendet werden:
(SH_c)/(SW_\alpha)=(CS)/(AS)<=>(SH_c)/(CS)=(SW_\alpha)/(AS)<=>(SH_c)/(CS)+(CS)/(CS)=(SW_\alpha)/(AS)+(AS)/(AS)
(SH_c+CS)/(CS)=(SW_\alpha+AS)/(AS)<=>(CH_c)/(CS)=(AW_\alpha)/(AS) (1)
Es sind außerdem die Dreiecke H_c W_\alpha C und CSG ähnlich, da \measuredangle\ W_\alpha CH_c bei beiden Dreiecken gleich ist und \measuredangle\ CSG=\measuredangle\ CH_c W_\alpha (Stufenwinkel). Analog sind die Dreiecke AH_c W_\alpha und HSA ähnlich. Nochmals wird der Strahlensatz verwendet:
(H_c W_\alpha)/(SG)=(CH_c)/(CS), (H_c W_\alpha)/(HS)=(AW_\alpha)/(AS)
Wegen (1) folgt (H_c W_\alpha)/(SG)=(H_c W_\alpha)/(HS)<=>SG=HS
Daraus folgt nun tatsächlich, dass S auf der Seitenhalbierenden s_b liegt und demzufolge schneiden sich im Dreieck ABC die Höhe h_c , Winkelhalbierende w_\alpha und Seitenhalbierende s_b wie behauptet in einem Punkt, w.z.b.w.
Mir ist schon klar, dass die Lösung alles andere als schön ist, aber dass sie mit der schlechtesten Stufe, also erhebliche Lücken/schwere Fehler, bewertet wurde, verstehe ich (noch) nicht. Auch die knappe Bemerkung "nur ein Beweisrichtung (mit L)" sagt mit jetzt nicht viel. Es wäre jedenfalls schon, wenn mal jemand drüber schauen würde, die Skizze (die ich meiner Lösung auch beigefügt habe) kommt wie gesagt bald.
[ Nachricht wurde editiert von robertoprophet am 29.05.2008 13:27:31 ]
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Marcel-F
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|  Beitrag No.175, eingetragen 2008-05-29
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ich verstehe auchnicht, wo in meiner aufgabe 4 erhebliche lücke(n) oder schwere fehler sein sollen -.-
ICh hab nähmlich ganz klaar geschildert, dass wenn es möglich seie, dann müsste man von der endstellung auch wieder in die anfangstellung kommen.
dann habe ich ja eine gerade durch die spielsteine (1|1) und (0|0) gezogen und auch eine gerade durch die anderen beiden.
und da zwischen den parallel verlaufenen geraden immer 2 ganzzahlige koordinaten liegen und die jeweiligen spielsteine nur auf die ganzzahligen koordinaten, die ihre gerade schneidet, gelangen können, ist es unmöglich.
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robertoprophet
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| Beitrag No.176, vom Themenstarter, eingetragen 2008-05-29
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Mir ist auch aufgefallen, dass sich die Korrektoren jedes Jahr neue Stolpersteine bei der Geoaufgabe einfallen lassen. Letztes Jahr waren Lagebeziehungen ganz wichtig, dieses Jahr werden die gar nicht erwähnt. Stattdessen müssen dieses Jahr beide Beweisrichtungen (aus A folgt B und aus B folgt A "in ausreichender Weise abgehandelt werden". Ansonsten wird die Aufgabe als "insgesamt nicht gelöst" bewertet. Aber eigentlich habe ich ja mit Doppelpfeilen gearbeitet.
EDIT: Dass die Abhandlung beider Richtungen erforderlich ist, ist mir inzwischen auch klar geworden. Aber warum die Diskussion bezüglich der Lagebeziehung wegfällt verstehe ich nicht (aber auch die habe ich gemacht in meiner Lösung).
[ Nachricht wurde editiert von robertoprophet am 30.05.2008 00:26:01 ]
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Naphthalin
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 | Beitrag No.177, eingetragen 2008-05-29
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trotzdem musst du sagen, was du tust und warum du beide richtungen gezeigt hast...
Naphthalin
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robertoprophet
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| Beitrag No.178, vom Themenstarter, eingetragen 2008-05-29
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Hast du dir mal den 1.Beweis der lösungen angesehen? Da stehen auch nur die Gleichungen mit Äquivalenzpfeilen verbunden und zugehörigen notwendigen Begründunegn da.
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robertoprophet
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| Beitrag No.179, vom Themenstarter, eingetragen 2008-05-30
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Dummerweise lese ich erst jetzt, dass man bei "genau dann, wenn..."-Aussagen beide Richtungen beweisen muss. Ich habe aber am Ende meiner abgeschickten Lösung noch einen Teil hinzugefügt:
Im Folgenden wird noch gezeigt, dass sich die 3 Strecken eben nicht in einem Punkt schneiden, falls BC, w_\alpha und der Kreis mit dem Mittelpunkt H_c und dem Radius AH_c keinen gemeinsamen Punkt haben.
Angenommen AH_c bleibt konstant und \alpha ebenso, wodurch C und S auch den Ort beibehalten. S_b tut dies ebenfalls. W_\alpha sei nun präzisiert, nämlich als gemeinsamer Punkt von s_b und BC, den es stets gibt in ABC. Nun muss aber W_\alpha H_c!=AH_c gelten, damit der Kreis nicht durch W_\alpha verläuft. Demzufolge verläuft BC anders, da B eine neue Position besitzt. Also verläuft auch s_b anders, trotzdem S am gleichen Ort ist. Demzufolge liegt S nicht mehr auf s_b. Infolgedessen ist bewiesen, dass sich h_c, w_\alpha und s_b dann und nur dann in einem Punkt schneiden, wenn w_\alpha, BC und der Kreis um H_c durch A einen gemeinsamen Punkt besitzen.
Ist denn damit nicht der "genau dann, wenn..."-Status bewiesen? Es ist natürlich alles nicht "schön", aber dass meine Arbeit als völlig unbrauchbar bewertet wurde verstehe ich dann doch nicht. Was meint ihr?
[ Nachricht wurde editiert von robertoprophet am 30.05.2008 00:23:46 ]
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Mathador111
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 | Beitrag No.180, eingetragen 2008-05-30
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Aufgabe 1) Kreuz bei o.w.B. und bei Darstellungsmängel
Aufgabe 2) Kreuz bei o.w.B.
Aufgabe 3) Kreuz bei Darstellungsmängel und Lücke(n)/Fehler
Aufgabe 4) Kreuz bei ehebl. Lücke(n)/schwere(r) Fehler
Bemerkung zu Aufgabe 3)
1.Beweisrichtung nicht gelungen: Sie setzen voraus, dass die Gerade "nur"?(was da steht, kann ich nur als ein "nur" deuten) durch B verläuft. Genau das muss jedoch bewiesen werden!
macht unterm Strich nur eine Anerkennung. Auch die letzte Teilnahme war nicht erfolgsversprechend.
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Octopus
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| Beitrag No.181, eingetragen 2008-05-30
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\quoteon(2008-05-29 14:49 - Marcel-F in Beitrag No. 175)
ich verstehe auchnicht, wo in meiner aufgabe 4 erhebliche lücke(n) oder schwere fehler sein sollen -.-
ICh hab nähmlich ganz klaar geschildert, dass wenn es möglich seie, dann müsste man von der endstellung auch wieder in die anfangstellung kommen.
dann habe ich ja eine gerade durch die spielsteine (1|1) und (0|0) gezogen und auch eine gerade durch die anderen beiden.
und da zwischen den parallel verlaufenen geraden immer 2 ganzzahlige koordinaten liegen und die jeweiligen spielsteine nur auf die ganzzahligen koordinaten, die ihre gerade schneidet, gelangen können, ist es unmöglich.
\quoteoff
Hi MarcelF,
ich denke du hast nicht beachtet, dass ein Zug nicht nur zwischen benachbarten Steinen erlaubt ist. Du kannst also auch einen Stein auf der einen Geraden über einen Stein auf einer anderen Geraden "springen lassen". Somit sind mögliche Orte deiner Steine nicht nur die beiden angegebenen Geraden, sondern alle weiteren äquidistanten (Abstand 3) Geraden. Der Beweis funktioniert dann aber natürlich genau so, wie du es dir gedacht hast. Ärgerlich!
Viele Grüße,
Octopus
[ Nachricht wurde editiert von Octopus am 30.05.2008 14:28:27 ]
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robertoprophet
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| Beitrag No.182, vom Themenstarter, eingetragen 2008-05-30
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Bei mir ja auch mit owB, owB, erhebliche Lücken/schwere fehler, Lücken/Fehler. Letzters war mir ja klar, aber bei 3. eben. Inzwischen habe ich aber eingesehen, dass mein Beweis nicht ohne weiteres umkehrbar ist. Ich wusste aber eben leider nicht dass man beide Richtungen beweisen muss. Andersrum wäre es mit meinem Weg auch kein problem gewesen, ich habs gestern in knapp 30 Minuten hingekriegt. Nun ja, wenigstens bin ich jetzt wieder etwas schlauer, aber dass ich wieder kein Beschäftigungsmaterial für den Sommer habe ist weniger schön 
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.180 begonnen.]
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Marcel-F
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| Beitrag No.183, eingetragen 2008-05-30
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ja, ich hab auch "nur" eine anerkennung
aber ansich ist das schonmal garnich schlecht fürs erste mal, weil ch hab ja noch 4 jahre vor mir :)
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robertoprophet
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| Beitrag No.184, vom Themenstarter, eingetragen 2008-05-30
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Naja, eine Anerkennung war ja dieses Jahr nicht schwer zu holen wegen Aufgae 1 und 2.
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Marcel-F
Ehemals Aktiv
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| Beitrag No.185, eingetragen 2008-05-30
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das stimmt natürlich.
aufgabe 4 war auchnich wirklich schwer und ich habs immernochnich verstenden was falsch sein soll bei mir.
@octopus
ich hatte aber geschrieben, dass zwischen jedem punkt auf g und jedem auf h, die den selben y wert haben, immer 2 ganzzahlige koordinaten liegen und somit geht das halt nicht....
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robertoprophet
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| Beitrag No.186, vom Themenstarter, eingetragen 2008-05-30
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Ich finde es eben nach wie vor komisch dass Lösungen bei 3. ohne beide Beweisrichtungen wertlos sind...
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Mathador111
Senior
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| Beitrag No.187, eingetragen 2008-05-30
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Ich hatte 2 Beweisrichtungen...und bei beiden muss man eine Sache voraussetzen, deswegen versteh ich bei mir den Einwand nicht.
Viel Zeit zur Bearbeitung in einer 2.Runde hätte ich wegen Bund-Einzug am 1.7. auch nicht gehabt..
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robertoprophet
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Dabei seit: 18.12.2006
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| Beitrag No.188, vom Themenstarter, eingetragen 2008-05-30
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Naja, es ist ja nicht so dass man da keine Freizeit hat...
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Octopus
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Dabei seit: 26.09.2006
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Wohnort: Bayern, Pleiskirchen
| Beitrag No.189, eingetragen 2008-05-30
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\quoteon(2008-05-30 19:13 - Marcel-F in Beitrag No. 185)
@octopus
ich hatte aber geschrieben, dass zwischen jedem punkt auf g und jedem auf h, die den selben y wert haben, immer 2 ganzzahlige koordinaten liegen und somit geht das halt nicht....
\quoteoff
Nein, schau dir die Musterlösung an!
Die Steine kannst du nicht nur auf deine beiden Geraden ziehen, sondern auch auf jede weitere die zu den beiden ursprünglichen parallel und den Abstand 3*k, mit natürlichem k, hat.
Da z.B. am "Anfang" auf (0,0) und (0,3) ein Stein liegt, kannst du den Stein von (0,0) auf (0,6) ziehen. Diese Fälle betrachtest du nicht, da dieser Punkt nicht auf deinen beiden Geraden liegt. Es reicht also nicht aus diese beiden Geraden zu betrachten, sondern man muss ein ganzes Büschel voller äquidistanter Geraden betrachten.
Gruß, Octopus
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Undertaker
Ehemals Aktiv
Dabei seit: 17.10.2006
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| Beitrag No.190, eingetragen 2008-05-30
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Mal ne andere Sache:
Die Statistik, die mir beiliegt, scheint unausgefüllt zu sein, denn im Prinzip sind immer nur die Zusammenfassungen aufgeschlüsselt, d.h. die letzte Zeile und die letzte Spalte, dort wo also die Gesamtergebnisse verzeichnet sind, sind vollständig, sonst steht nichts drin, außer der Teilnehmerzahl, keine Platzierungen - nichts!
Ist das ein Missgeschick oder pflegt man es ab diesem Jahr, keine genaue Abstufung nach Teilnehmerzahlen anzugeben? Habt ihr eine ordentliche Statistik bekommen?
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robertoprophet
Senior
Dabei seit: 18.12.2006
Mitteilungen: 2063
| Beitrag No.191, vom Themenstarter, eingetragen 2008-05-31
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Soweit ich weiß hat niemand eine ordentliche Statistik bekommen, es scheint sich da um einen Fehler zu handeln.
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Mathador111
Senior
Dabei seit: 09.03.2007
Mitteilungen: 1098
Wohnort: Köln, Deutschland
| Beitrag No.192, eingetragen 2008-05-31
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\quoteon(2008-05-30 21:21 - robertoprophet in Beitrag No. 188)
Naja, es ist ja nicht so dass man da keine Freizeit hat...
\quoteoff
Naja aber eine erhebliche Einschränkung, wenn man bedenkt, dass die meisten dann Ferien haben.
Zur Statistik: meine ist ziemlich lückenhaft, da kann was nicht stimmen.
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bschlund
Neu
Dabei seit: 02.06.2008
Mitteilungen: 1
| Beitrag No.193, eingetragen 2008-06-02
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Hat sich von euch irgendjemand für die 2. Runde qualifiziert?
Gruß Benjamin
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Kroet
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Dabei seit: 11.08.2006
Mitteilungen: 41
Wohnort: Heidelberg
 | Beitrag No.194, eingetragen 2008-06-02
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Naphthalin
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Wohnort: Dresden
| Beitrag No.195, eingetragen 2008-06-03
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fejety
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Dabei seit: 13.02.2007
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| Beitrag No.196, eingetragen 2008-06-03
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bin auch weiter.
Gruß fejety
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Lukas92
Junior
Dabei seit: 08.03.2008
Mitteilungen: 5
Wohnort: Deggendorf
| Beitrag No.197, eingetragen 2008-06-04
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Hi,
ich darf auch an der 2. Runde teilnehmen.
Aber die Aufgaben find ich echt schwerer, habt ihr schon was raus?
Lukas
[ Nachricht wurde editiert von Lukas92 am 04.06.2008 20:13:41 ]
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robbe
Senior
Dabei seit: 12.04.2007
Mitteilungen: 1253
 | Beitrag No.198, eingetragen 2008-06-04
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Hi,
bis jetzt habe ich eine ganz und bei ner zweiten bin ich (glaube ich zumindest) auf dem richtigen Weg
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dom
Junior
Dabei seit: 23.06.2006
Mitteilungen: 9
| Beitrag No.199, eingetragen 2008-06-07
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Ich bin auch weiter. In den letzten beiden Jahren konnte ich keine Aufgabe der zweiten Runde nur anseitsweise lösen. Dieses Jahr komme ich deutlich besser damit klar. Die ersten beiden Aufgaben schon geschafft und Nummer 4 fehlt nur noch ein wenig.
Wollte hier auch nochmal hinweisen, keine Angaben zu den Aufgaben zu machen.
In diesem Sinne ein frohes schaffen und an die die es leider nicht geschafft haben, im olympischen Gedanke "Dabei sein ist alles" Das wichtigste ist doch, dass man spaß an der Sache hat, auch wenn es vor Matheaufgaben zu sitzen ist ^^
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Home / Seite ohne Frame
2023-12-08 22:11 !
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