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 Basis von Untervektprräumen |
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Minos
Ehemals Aktiv 
Dabei seit: 18.03.2002
Mitteilungen: 100
Wohnort: Nord-Süd Bayern
 |  Themenstart: 2002-05-26
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Hi Leuts,
ich bräuchte mal wieder Hilfe bei einer Matheaufgabe.
Betrachtet wird der von p1, p2 (mit pi = xi) erzeugten Untervektorraum U, des Raumes V der stetigen reellwertigen Funktionen auf dem Einheitsintervall, mit dem Skalarprodukt: áf, gñ = ò01f(x)g(x)dx.
Zu bestimmen ist nun eine Basis (b1, b2) von U mit b1 ^b2 und ||b1|| = ||b2|| = 1.
Ich bin bei meinem Lösungsversuch irgendwie in einer Sackgasse gelandet. Das ist zwar jetzt ohne Zusammenhang aber am Ende steht dann bei mir a=0 Ú b=0 und gleichzeitig muss gelten a2 = b2 = 1
irgendwie Unsinn oder 
Hoffe mal jemand anders hat nen Plan der nicht in ne Sackgasse führt.
MfG Minos
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kadarin
Junior 
Dabei seit: 25.05.2002
Mitteilungen: 13
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2002-05-26
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1. wähle einen basisvektor b1
b1:=x
2. normiere diesen:
1²==1/3 a³1³- 1/3 a³0³ => a³=3 => b1=3^1/3*x
nun muß gelten:
áb1,b2>=0
ausserdem ist b2=ax+bx²
durch einsetzen in die bedingung müsste sich jetzt eine abhängigkeit von a von b ergeben und durch normieren wieoben ergeben sich dann die endgültigen festen werte. ich hoffezumindest dass esso funktionieren könnte und dir der ansatz weiterhilft.
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Ende
Senior
Dabei seit: 15.03.2002
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 | Beitrag No.2, eingetragen 2002-05-26
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Hallo, Minos!
Ich nehme an, dass fuer b Î U gilt: áb, bñ = 1 <=> ||b|| = 1.
Weiterhin nehme ich an, dass fuer b1, b2 Î U gilt:
b1 ^ b2 <=> áb1, b2ñ = 0.
Unter diesen Annahmen erfuellen b1 := (Ö5 + Ö3)(Ö3 x - Ö5 x2) und b2 := (Ö5 - Ö3)(Ö3 x + Ö5 x2) die Anforderungen der Aufgabe.
Einige Bemerkungen:
Wie komme ich auf diese Basis? Zunaechst einmal durch blindes Rechnen mit dem Skalarprodukt. Welche Stammfunktion F ergibt sich fuer (ax+bx2)(cx+dx2) fuer a, b, c, d Î IR?
Dann rechne F(1)-F(0) aus. Das ergibt einen Ausdruck, der von a, b, c, d abhaengt.
Welche Abhaengigkeit von b und d ergibt sich, wenn man die zusaetzlichen Annahmen a = 1, c = 1 und d = -b macht?
Welche Normen haben dann die Funktionen ax+bx2, cx+dx2?
Durch Division dieser Funktionen durch die Wurzel ihrer jeweiligen Norm erhaeltst Du dann Funktionen der Norm 1.
In Kurzform ist das der Weg, den ich bschritten habe, um die angegebene Basis zu finden.
Warum bilden b1 und b2 eine Basis?
Diese beiden Funktionen sind linear unabhaengig. Das pruefst Du leicht nach, indem Du zum Beispiel die beiden Gleichungen 0 = a*b1(0) + b*b1(0) und 0 = a*b1(1) + b*b1(1) betrachtest und daraus folgerst, dass a = 0 = b sein muss. U wird erzeugt von p1 und p2 , hat also hoechstens die Dimension 2. Weil b1 und b2 2 linear unabhaengige Vektoren aus U sind, erzeugen sie also ganz U, bilden also eine Basis von U.
Gruss, E. 
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Minos
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|  Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2002-05-27
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Hi Ende,
danke für deine Hilfe, aber ein paar Fragen hätte ich noch.
1. Warum darf man die Annahme machen, dass a = c = 1, d = -b (hat das was damit zu tun, dass die Funktionen linear unabhängig sein müssen??)
2. Warum teilst du die Funktionen ax + bx2 , cx + dx2 durch die Wurzel ihrer jeweiligen Norm?
3. Was bedeutet "eine Funktion der Norm 1"?? Ich kann mich nicht erinnern, dass mir der Begriff Norm 1 schon mal untergekommen ist.
MfG Minos 
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Ende
Senior
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|  Beitrag No.4, eingetragen 2002-05-27
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Hallo, Minos!
1. Die zusaetzlichen Annahmen a = c = 1 und d = -b habe ich hauptsaechlich gemacht, damit besonders 'schoene' Basisfunktionen herauskommen. Das hat bedingt etwas mit der linearen Unabhaengigkeit zu tun.
Nur erhaeltst Du aus der Bedingung, dass die Funkionen senkrecht aufeinander stehen sollen, das entsprechende von Dir angegebene Integral also 0 sein soll, keine eindeutigen Loesungen fuer a, b, c und d. Mit der zusaetzlichen Annahme wird's dann eindeutig und sieht im Ergebnis auch noch schoen aus.
Die lineare Unabhaengigkeit ergibt sich dann auch noch. Ich hatte aber auch noch andere Loesungen. Zum Beispielen fuer a = b = c = 1. Dann kam fuer d irgendwie -30/31 oder so was raus. Weiss nicht mehr...
2. Dass der Beriff Norm Dich verwirrt, war nicht beabsichtigt. Ich dachte, Euer Prof haette das, was du mit ||f|| bezeichnest, als Norm von f eingefuehrt. Ich war auch nicht sicher, was Du mit ||f|| konkret meinst. Deshalb habe ich die beiden Vorbemerkungen in meinem Beitrag gemacht. Aus meiner Sicht ist ||f|| := sqrt(<f, f>). Davon bin ich jedenfalls ausgegangen.
Dann gilt fuer r aus IR: ||r*f|| = |r| * ||f||.
Damit ich also eine Funktion der Norm 1 erhalte (also mit ||g|| = 1), setze ich r := 1/||f||, g := r*f und kann rechnen:
||g|| = ||r*f|| = |r| * ||f|| = | 1/||f|| | * ||f|| = 1.
Damit ist g aus 1 'normiert'. Und das war ja in Deiner Aufgabe gefordert.
3. Ist hoffentlich mit 2. auch beantwortet.
Gruss, E.
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Minos
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|  Beitrag No.5, vom Themenstarter, eingetragen 2002-05-27
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Hi Ende,
nochmal ich
Zweierlei:
1. Kann man das ganze auch so lösen??
Erst rechne ich für f:= ax+bx2 und g:= cx+dbx2
Das Skalarprodukt ò01(ax+bx2)(cx+dbx2) = 0 aus.
Dann setze ich b1=ax+bx2 und b2=cx+dx2 und brechne jeweils für b1 und b2 ||b1|| = 1 und ||b2|| = 1.
Anschließend löse ich ||b1|| = 1 nach a und ||b2|| = 1 nach c auf und habe anschließend zwei Terme mit jeweils b und d als Variable.
Diese beiden Terme setze ich für a und c in das ausgerechnte ò01(ax+bx2)(cx+dbx2) = 0 ein und erhalten dann ein Verhältnis von b und d. Damit hätte ich dann passende Werte für a, b, c, d bestimmt.
Ich habe das probeweise mal angefangen, aber nachdem ich die terme für a und c in das Skalarprodukt eingestzt hatte stand da ein erstmal ein Monsterterm. Zu Fuß wollte ich den nicht ausrechnen und hab ihn deshalb in den PC eingetippt, aber nachdem dieser ewig rumgerechnet hatte ging im irgendwann der Arbeitsspeicher aus 
Zumindest praktisch gesehen, kann diese Methode also nicht so gut sein, voraussgesetzt sie stimmt
2.
Ich habe dann Versucht, deinen Vorschlag nachzurechnen, aber trotz mehreren Versuchen komme ich nciht auf deine Basis  .
Könntest du bitte explizit die einzelnen Rechenschritte angeben, die du gemacht hast, dann sollte sich bei mir der Knoten endlich lösen. Du brauchst ja nicht die einzelnen Zwischenergebnisse angeben, dass wär doch a bisserl viel Schreibarbeit, sondern nur die jeweiligen Terme.
MfG Minos
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Ende
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| Beitrag No.6, eingetragen 2002-05-28
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> 1. Kann man das ganze auch so lösen??
Wenn ich Dich richtig verstanden habe, dann ja. Das was Du beschrieben hast, ist im wesentlich das, was ich auch gemacht habe.
> Ich habe das probeweise mal angefangen, aber nachdem ich die terme für a und c in das Skalarprodukt eingestzt hatte stand da ein erstmal ein Monsterterm. Zu Fuß wollte ich den nicht ausrechnen und hab ihn deshalb in den PC eingetippt, aber nachdem dieser ewig rumgerechnet hatte ging im irgendwann der Arbeitsspeicher aus
Mhm, und deswegen habe ich auch recht frueh die zusaetzlichen Annahmen ueber a, b, c und d gemacht.
> 2.
> Ich habe dann Versucht, deinen Vorschlag nachzurechnen, aber trotz mehreren Versuchen komme ich nciht auf deine Basis .
Komisch... Gezaubert habe ich nicht.
> Könntest du bitte explizit die einzelnen Rechenschritte angeben, die du gemacht hast, dann sollte sich bei mir der Knoten endlich lösen. Du brauchst ja nicht die einzelnen Zwischenergebnisse angeben, dass wär doch a bisserl viel Schreibarbeit, sondern nur die jeweiligen Terme.
Mal sehen, ob ich das noch zusammenkriege.
Also erstmal habe auch ich das Skalarprodukt der Funktionen b1 := ax+bx2 und b2 := cx+dx2 ausgerechnet. Was ich da herausbekommen habe, habe ich natuerlich nicht im Kopf, aber das kannst Du ja praktisch per Hand ausrechnen. Das entsprechende Integral ist ja sehr einfach...
Na gut, ich hab's jetzt also nochmal nachgerechnet...
Ich erhalte <b1, b2> = 1/60*(20ac + 15(ad+bc) + 12 bd).
Nach Deiner Voraussetzung und meiner Vorbemerkung bin ich nun davon ausgegangen, dass dieser Ausdruck gleich 0 sein soll. Damit ich jetzt schon konkrete Loesungen bekomme und nicht weiter mit den Variablen a, b, c und d herumrechnen muss, habe ich an dieser Stelle nun gefordert, dass a = c = 1 sein soll. Damit ausserdem die lineare Unabhaengigkeit sichergestellt ist, habe ich zusaetzlich noch gefordert, dass d = -b sein soll.
Das habe ich nun in den von mir ausgerechneten Term fuer das Skalarprodukt eingesetzt und das Ergebnis gleich 0 gesetzt. Dabei faellt der Faktor 1/60 offensichtlich weg.
Also:
5 - 3b2 = 0, also zum Beispiel b = Ö(5/3). Entsprechend dann d = -Ö(5/3).
Damit habe ich als Zwischenergebnis die aufeinander senkrecht stehenden, linear unabhaengigen Funktionen b1 = x + Ö(5/3) x2 und b2 = x - Ö(5/3) x2 erhalten.
Nun sollen diese Funktionen aber nach Forderung Deiner Aufgabe die Norm 1 haben.
Also rechne ich erstmal die Normen von b1 und b2 aus und erhalte:
||b1|| = 2/3 + 1/2*Ö(5/3),
||b2|| = 2/3 - 1/2*Ö(5/3).
Beide Normen sind nicht gleich 1.
Deshalb ersetze ich jetzt b1 und b2 durch (man verzeihe mir die mathematisch unkorrekte Schreibweise):
b1 := b1/Ö||b1||, und
b2 := b1/Ö||b2||.
Damit erhalte ich dann:
b1 = ...
Ich setze das in ein paar Stunden fort, jetzt habe ich gerade leider keine Zeit mehr.
Gruss, E.
[ Nachricht wurde editiert von Ende am 2002-05-28 15:50 ]
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Ende
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| Beitrag No.7, eingetragen 2002-05-28
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Hallo, Minos!
Jetzt kommen wahrscheinlich die wesentlichen Umformungen, bei denen Du Schwierigkeiten hattest. Deshalb mache ich das jetzt etwas ausfuehrlicher.
Zunaechst einmal ist: 2/3 + 1/2Ö(5/3) = (Ö(15)/6 + 1/2)2. (Nachrechnen!)
Also Ö(2/3 + 1/2Ö(5/3)) = Ö(15)/6 + 1/2.
Also:
b1 = (x+Ö(5/3)x2)/(1/2+Ö(15)/6) =
(1/2-Ö(15)/6)(x+Ö(5/3)x2)/(1/4-15/36) =
-6(1/2 x - Ö(15)/6 x + 1/2Ö(5/3) x2 - 1/6Ö(75/3) x2) =
(Ö(15) - 3) x + (5 - Ö(15))x2 =
(Ö5 - Ö3)(Ö3 x + Ö5 x2).
Mit ganz aehnlichen Umformungen erhaeltst Du meine Darstellung von b2.
Jetzt alles klar?
Gruss, E.
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