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Lineare Algebra » Vektorräume » Untervektorräume
Autor
Kein bestimmter Bereich Untervektorräume
Judith
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 25.05.2002
Mitteilungen: 7
  Themenstart: 2002-05-26

Hallo. Ich hoffe, mir kann jemand bei den folgenden Fragen helfen: Beweisen oder widerlegen (für Untervektorräume U1, U2): a) U1 - U2 = U1 + U2 b) Wenn U1 + U2 = U1 È U2, dann folgt U1Í U2 oder U2Í U1 und auch umgekehrt. Die Definition von Untervektorräumen ist mir bekannt, aber ich finde keinen Ansatz für die Beweise bzw. Gegenbeispiele. Vielleicht kann mir jemand einen Tip geben? Danke!

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Senior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 15.03.2002
Mitteilungen: 2300
Wohnort: Kiel, Ostsee
  Beitrag No.1, eingetragen 2002-05-26

Hallo, Judith! Ist alles halb so schlimm, wenn Du es Schritt fuer Schritt angehst. Was ist denn bei a) zu zeigen? Die Gleichheit zweier Mengen. Die zeigst Du, indem Du zeigst, dass zwei Inklusionen gelten. Also nimmst Du Dir zuerst einen Vektor x aus U1 - U2. Der hat dann die Form x = u1 - u2, wobei u1 aus U1 und u2 aus U2 ist. Dein Ziel ist es nun, zwei Vektoren u1' aus U1 und u2' aus U2 zu finden derart, dass x = u1' + u2' ist. Kriegst Du das hin? Kleiner Tipp: Wenn u2 aus U2 ist, dann ist auch -u2 aus U2. Und fuer die zweite Inklusion nimmst Du einen Vektor x = u1 + u2 aus U1 + U2 und suchst u1' aus U1 und u2' aus U2 mit x = u1 - u2. Hinterher wird es Dir wie Schuppen von den Augen fallen... Bei b) sollst Du die Aequivalenz von zwei Aussagen zeigen. Wir zeigen zuerst die Rueckrichtung, weil die einfacher ist: Es sei also U1 Í U2 oder U2 Í U1. O.B.d.A. nehmen wir an, dass U1 Í U2. Naja, dann gilt aber U2 Í U1 + U2 Í U2 + U2 Í U2. (Dass die einzelnen Inklusionen in dieser Kette gelten, siehst Du jeweils leicht ein, sonst frag nochmal nach.) Also U1 + U2 = U2 = U1 È U2. Nun die Hinrichtung. Da schlage ich vor, dass Du die Kontraposition zeigst. Du nimmst also an, dass U1 Ë U2 und U2 Ë U1. (Das Ë heisst natuerlich jeweils auch U1 ¹ U2.) Dann gibt es zwei Vektoren u1 Î U1\U2 und u2 Î U2\U1. u1 + u2 liegt sicher in U1 + U2. Aber ueberleg mal, ob u1 + u2 auch in U1 È U2 liegen kann. Wenn Du nicht weiterkommst, melde Dich nochmal. Gruss, E.

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Judith
Junior Letzter Besuch: vor mehr als 3 Monaten
Dabei seit: 25.05.2002
Mitteilungen: 7
  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2002-05-26

Danke, diesen Ansatz hab` ich gebraucht. Jetzt werde ich`s wohl hinbekommen. :-)

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