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| Autor |
 Quadratische Form und Bilinearfom |
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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
|  Themenstart: 2002-05-27
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Hallo alle miteinander!
Ich habe eine quadratische Form mit 4 Variablen und soll daraus eine Bilinearform machen. Jetzt will mir nicht einleuchten, wie ich 4 Variablen in einer Bilinearform unterbringen soll, die doch nur nur 2 Variablen bekommt. Hier das Beispiel:
Q(a,b,c,d)=-4ac+5b²+2bd+d².
Außerdem soll noch eine Haupachsentransformation durchgeführt werden.
Wie kann man aus Q eine Bilinearform bauen?
Ich danke schon einmal für Antworten!
Viele Grüße,
Tobias Stening
toasty@cmaxx.de
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Spock
Senior 
Dabei seit: 25.04.2002
Mitteilungen: 8273
Wohnort: Schi'Kahr/Vulkan
 |  Beitrag No.1, eingetragen 2002-05-27
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Hallo Tobias,
eine Bilinearform ist nicht beschränkt auf zwei Variable!
Sei x ein Spaltenvektor, xT der dazu transponierte Zeilenvektor und A ist eine reelle symmetrische (in Deinem Beispiel 4 x 4) Matrix. Die Multiplikation zwischen zwei Matrizen bezeichne ich mit A.B
Die Idee ist, daß Du Deine quadratische Form in den vier Variablen a, b, c, d schreibst als
(1): Q = xT.A.x
wobei
(2): xT = (a,b,c,d)
und brauchen tust Du die symmetrische (4x4)-Matrix A
Das gelingt Dir, indem Du A mit noch zu findenden Elementen A11, A12, usw., ansetzt (Symmetrie beachten), die rechte Seite von (1) damit formal ausrechnest und mit Deiner quadratischen Form vergleichst. Du findest so für die Matrix A (verifiziere das)
0 0 -2 0
A = 0 5 0 1
-2 0 0 0
0 1 0 1
Definierst Du den Spaltenvektor
y:= A.x,
dann ist xT.A.x = xT.y das normale Skalarprodukt, also eine Bilinearform auf dem Vektorraum V = IR^4
Die Hauptachsentransformation kriegst Du jetzt hin?
Ergebnis (rechne nach):
Die Matrix A hat die 4 Eigenwerte Eigenwerte EW:
EW1 = -2, EW2 = 2, EW3 = 3+sqrt(5), EW4 = 3-sqrt(5)
und die Eigenvektoren v:
v1T = (1,0,1,0)
v2T = (-1,0,1,0)
v3T = (0,2+sqrt(5),0,1)
v4T = (0,2-sqrt(5),0,1)
Hoffe, hab mich nicht verrechnet
Hab Spass beim nachrechnen
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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
|  Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2002-05-27
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Das hat mir sehr geholfen! Dankeschön!
Wenn doch nur unsere Übungsleiter so auskunftsfreudig wären...
Viele Grüsse,
Tobias
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Anonymous
Unregistrierter Benutzer
| Beitrag No.3, vom Themenstarter, eingetragen 2002-05-27
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Ich habe alles nachgerechnet und bin auf die selben Eigenvektoren gekommen. Jetzt fehlt doch nur noch die Normierung, oder?
Wenn ja, wie normiert man die Vektoren
v1T = (1,0,1,0)
v2T = (-1,0,1,0)
v3T = (0,2+sqrt(5),0,1)
v4T = (0,2-sqrt(5),0,1)
Reicht es, wenn man einen Faktor rauszieht, damit die einzelnen Elemente des Vektors 1 sind?
Viele Grüße, Tobias
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Spock
Senior 
Dabei seit: 25.04.2002
Mitteilungen: 8273
Wohnort: Schi'Kahr/Vulkan
| Beitrag No.4, eingetragen 2002-05-27
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Hallo Tobias,
schön, daß Du alles nachvollziehen konntest.
Auf den Betrag 1 normieren kannst Du die Eigenvektoren dadurch, indem Du jede Komponente des betreffenden Vektors durch seinen Betrag dividierst. Also etwa für v1
v1T_normiert = (1/sqrt(2))*(1,0,1,0)
usw.
Kommst Du dann klar?
Gruss
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