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 Auflagerkräfte bei einem außermittigen Schwerpunkt |
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GrandPa
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 |  Themenstart: 2008-03-12
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Hallo,
ich habe ein Problem mit der Bestimmung von Auflager(reaktions)kräften die durch eine außermittig wirkende Gewichtskraft enstehen.
Das es vier Auflagerpunkte sind, ist das System ja statisch unbestimmt. Gibt es hier ein sicheres Näherungsverfahren um alle vier Auflagerkräfte zu berechnen?
Die nachfolgende Grafik zeigt die Draufsicht.
Danke schon mal im voraus!
Gruss
GrandPa
[ Nachricht wurde editiert von GrandPa am 12.03.2008 20:36:02 ]
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chrisss
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 | Beitrag No.1, eingetragen 2008-03-12
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Hallo GrandPa, bin mir jetzt nicht 100% sicher, aber das ist doch ein Problem im Raum, somit stehen dir 6 unabhängige Gleichgewichtsgleichungen zur Verfügung. Nehmen wir die 4 Lager in der vertikalen an und 2 der 4 Lager halten die Scheibe in ihrer horizontalen fest, somit ist das System statisch bestimmt gelagert und die Auflagerkräfte lassen sich genau bestimmen.
Gruß chris
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GrandPa
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| Beitrag No.2, vom Themenstarter, eingetragen 2008-03-12
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Hm ich weiß nicht ob das so ist ?
Hier mal eine Seitenansicht dazu:
Das Problem tritt ja häufig z.B. bei Maschinen mit vier Aufstellpunkten auf und wo der Schwerpunkt außermittig ist.
Wie berechnet man es nach deiner Lösungsvariante ?
Gruss GrandPa
[ Nachricht wurde editiert von GrandPa am 12.03.2008 21:03:55 ]
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chrisss
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| Beitrag No.3, eingetragen 2008-03-12
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Na das Problem kannst du nicht auf das zweidimensionale reduzieren.
Im Raum betrachtet bildest du mit F=Gewichtskraft der Platte und mit einem Rechtwinkligen Koordinatensystem, so dass x von A nach B positiv läuft, y von A nach C positiv läuft und z von A nach unten positiv läuft:
sum(F_z)=0 -> 0=-A_z-B_z-C_z-D_z+F
sum(M_A_x)=0 (Summe der Momente im Punkt A um die x-Achse soll Null sein) -> 0=F*Abstand-D_z*DB^--C_z*CA^-
Diese Momentensummen bildest du noch um paar mehr Punkte und irgentwann hast du dann 4 unabhängige Gleichungen.
Hast du statische Systeme im Raum schon mal bearbeitet?
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GrandPa
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|  Beitrag No.4, vom Themenstarter, eingetragen 2008-03-12
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Das ist schon eine Weile her !
Aber ich werde mal deinen Lösungsweg ausprobieren, ob ich zu einem "Ergebnis" komme !
Es ist nur komisch, daß es dafür eigentlich nirgends eine Lösung beschrieben gibt - zumindest habe ich in meinen Bücher und Unterlagen über Technische Mechanik nichts derartiges gefunden. Auch in der Praxis, z.B. bei Maschinenhersteller gibt es da nichts, wenn dann wurden die Kräfte meist messtechnisch ermittelt.
Noch schwieriger wird es zudem noch, wenn z.B. bei einer Kurbelpresse zusätzlich Momente auftreten, welche in z.B. 3-4 Meter Höhe wirken.
Danke für deinen Lösungsansatz.
Gruss GrandPa
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Orangenschale
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 | Beitrag No.5, eingetragen 2008-03-13
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\
Hi,
ich habe mich auch mal mit der Aufgabe beschäftigt und chriss' Lösungsweg klingt sehr plausibel. Nur findet man nie 4 unabhängige Gleichungen, sondern maximal 3!
IMO braucht man Punkt D überhaupt nicht, zumindest wenn x,y>0 sind. Man stelle sich dazu vor, es gäbe nur die Punkte B und C, dann dreht sich aufgrund der dezentralen Kraft die Platte um die Achse BC^- . Durch Punkt A wird das verhindert und das Drehmoment kompensiert, in Punkt D braucht man somit keinen Auflagepunkt. Das System gibt sich mit drei Auflagepunkten zufrieden und bleibt im Gleichgewicht.
Da ich eigentlich keine Ahnung von Technischer Mechanik (bin Physiker) habe hoffe ich, jemand kann meine Gedanken nachvollziehen.
LG Orangenschale
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GrandPa
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| Beitrag No.6, vom Themenstarter, eingetragen 2008-03-13
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Hallo Orangenschale,
interessanter Ansatz. Je nach dem wie groß die "Platte" ist würde Sie über den fehlenden Punkt sicherlich kippen, wenn "Dynamik" dazu kommt. Statisch gesehen würde das funktionieren, d.h. der vierte Punkt (z.B. D) wäre dann überflüssig(3 Punkte tragen ja immer). Aber ich wollte eigentlich schon wissen wie ich die vierte Auflagerkraft berechnen kann.
:)
Gruss GrandPa
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chrisss
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| Beitrag No.7, eingetragen 2008-03-13
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Hallo, hab die Aufgabe heute mal versucht zu lösen, aber ich bekomme keine vierte Gleichung hin die unabhängig ist. Wär gut wenn sich einer melden könnte der mit 3D Berechnungen Erfahrung hat. Vielleicht ist diese Lagerart einfach unbestimmt? Aber da kenn ich mich leider nicht aus. Viel Erfolg noch :)
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Ex_Mitglied_19661
 | Beitrag No.8, eingetragen 2008-03-14
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\quoteon(2008-03-13 17:43 - GrandPa)
Aber ich wollte eigentlich schon wissen wie ich die vierte Auflagerkraft berechnen kann.
\quoteoff
Hallo GrandPa,
ich versuch mich mal:
Bei zentraler Lage des Schwerpunktes wird jedes Auflager mit G/4 belastet. Für jede Seite des Vierecks setze ich in den Punkten G1 bis G4 deshalb jeweils eine Belastung mit G/4 an.
Bezüglich den Punkten B und D erhält man folgende Momentengleichungen:
in x-Richtung: 1/2*F_A*L = G_1*(L - x_1)
und
in y-Richtung: 1/2*F_A*T = G_3*(T - y_1)
Die weiteren Momentengleichungen erhält man nach dem gleichen Schema und löst dann nach den Kräften auf.
Gruß trek
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GrandPa
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| Beitrag No.9, vom Themenstarter, eingetragen 2008-03-15
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Hallo Trek,
danke für deinen interessanten Ansatz.
Wenn dein Ansatz stimmt müsste in deinem Beispiel für Fa beidesmal die gleichen Werte herauskommen.
(x) F_A = G_1 *(L-x_1) / L/2
(y) F_A = G_3 *(T-y_1) / T/2
=> (x) F_A = (y)F_A
Du rechnest für jede Achse wie in einem ebenen System (Auflagerkräfte an einem Balken mit zwei Auflagern) jeweils für x und y-Richtung.
Ich habe mal für
G = 4.000 N also G//4 = 1.000 N
L = 3 m
T = 2 m
x_1 = 0,1 m
y_1 = 0,2 m
eingesetzt und komme für
F_Ax1 = 1933 N
F_Ay1 = 1800 N
Wenn ich mich nicht verrechnet habe, kann dein Ansatz folglich nicht stimmen !
Und was ist mit dem Punkt C?
Gruss GrandPa
[ Nachricht wurde editiert von GrandPa am 15.03.2008 19:22:54 ]
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Ex_Mitglied_19661
| Beitrag No.10, eingetragen 2008-03-15
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Hallo GrandPa,
die für die x- und y- Richtung berechneten Kräfte addieren sich zur Gesamtkraft in dem betrachteten Punkt.
Gruß trek
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GrandPa
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|  Beitrag No.11, vom Themenstarter, eingetragen 2008-03-15
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Hallo chrisss,
also ich habe es mal versucht  . Nachstehend meine Skizze mit dem Koordinatensystem.
Drehpunkt sei Lager "A":
(1) F_G *(l/2 - y) = (F_Bz * l ) + ( F_Dz * L)
(2) F_G*(b/2 - x) = (F_Cz*b + F_Dz*b)
Damit habe ich aber nur zwei Gleichungen. Das reicht ja nicht !
Es gibt ja keine Kräfte in X und Y-Richtung, sondern bei der zunächst statischen Ausgangslage nur in Z-Richtung!
Oder ist mein Ansatz falsch ?
Cu GrandPa
[Die Antwort wurde nach Beitrag No.9 begonnen.]
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Ex_Mitglied_19661
| Beitrag No.12, eingetragen 2008-03-15
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Hallo GrandPa,
ich glaube hier liegt ein Mißverständnis vor:
Wenn ich von x- und y-Richtung spreche, meine ich selbstverständlich nicht, dass die Kräfte in diesen Richtungen wirken. Kraftrichtung ist natürlich die Vertikale (z-Richtung).
Ich meine eine Aufspaltung der Momentenberechnungen in die beiden horizontalen Richtungen.
Gruß trek
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GrandPa
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| Beitrag No.13, vom Themenstarter, eingetragen 2008-03-15
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Hi trek,
das war mir klar, daß du ausschließlich die Z-Richtung meinst, in x-y Richtung wirken ja keine!
Aber wenn du die beiden (Teil)-Kräfte in meinem Beispiel addierst
kommt ja alleine für Fa eine Auflagerkraft von 3733 N raus! Das ist unmöglich, da ja insgesamt nur 4.000 N verteilt auf die 4 LP wirken!
Deinen Grundgedanke fand ich interessant, da ja G/4 bei A,B,C und D ist wenn der Schwerpunkt genau in der Mitte ist. Wenn man jetzt den Schwerpunkt verschiebt, habe ich mir schon gedacht, ob es nicht über die Verhältnisse der Hebelarme die sich ja verlängern/verkürzen einen Lösungsansatz gibt. Auf der Basis des bekannten Archimedischen Hebelgesetzes. Es besagt , dass der Schwerpunkt zweier gleich schwerer Punktmassen der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke ist.
Cu GrandPa !
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Ex_Mitglied_19661
| Beitrag No.14, eingetragen 2008-03-15
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\quoteon(2008-03-15 20:25 - GrandPa)
Aber wenn du die beiden (Teil)-Kräfte in meinem Beispiel addierst
kommt ja alleine für Fa eine Auflagerkraft von 3733 N raus! Das ist unmöglich, da ja insgesamt nur 4.000 N verteilt auf die 4 LP wirken!
\quoteoff
Warum unmöglich? Nach Deinem Beispiel liegt der Schwerpunkt S doch ganz nahe beim LP A.
\quoteonAuf der Basis des bekannten Archimedischen Hebelgesetzes. Es besagt , dass der Schwerpunkt zweier gleich schwerer Punktmassen der Mittelpunkt der Verbindungsstrecke ist.
\quoteoff
Mein Lösungsvorschlag ist doch im Wesentlichen nichts Anderes.
Gruß trek
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GrandPa
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| Beitrag No.15, vom Themenstarter, eingetragen 2008-03-15
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Hi Trek,
der Schwerpunkt liegt zwar näher bei "A", dass ist richtig und in "A" wird auch die größte Auflagerkraft zu erwarten sein, aber diese wird sicher nicht mehr als 90%(!)von Fg betragen, wie nach dieser Berechnung, dazu ist der Abstand des Schwerpunktes vom Mittelpunkt zu gering.
Nachstehend eine Zeichnung (M 1:10):
Gruss GrandPa
[ Nachricht wurde editiert von GrandPa am 15.03.2008 22:38:28 ]
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Ex_Mitglied_19661
| Beitrag No.16, eingetragen 2008-03-15
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Hallo GrandPA,
ich greife Deine Beispielrechnung aus dem Beitrag #9 auf unter Verweis auf meine Skizze aus dem Beitrag #8 (beachte die Lage des Koordinatensystems). Es liegt anders wie in Deiner letzten Skizze.
Mit Deiner letzten Skizze ergeben sich wesentlich andere Werte für x1 und y1 als in Deiner Beispielrechnung.
Gruß trek
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Ex_Mitglied_19661
| Beitrag No.17, eingetragen 2008-03-15
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...als Nachtrag noch eine Skizze zu der Lage Deines Schwerpunktes aus Deinem Rechenbeispiel in meinem KO-System.
Das Beispiel hast Du offensichtlich mit den aus meinem KO-System folgenden Formeln berechnet. Deine Berechnung habe ich allerdings in seinen Einzelheiten nicht überprüft. Dein Ergebnis erscheint mir aber plausibel. 
Gruß trek
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GrandPa
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| Beitrag No.18, vom Themenstarter, eingetragen 2008-03-15
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Hi Trek,
ok, dann lag es daran, daß ich den Abstand des Schwerpunktes "S" immer vom geometrischen Mittelpunkt aus betrachte.
So wie du die Lage des "S" wählst hast du natürlich Recht, war von mir falsch umgesetzt!
Du legst doch den Drehpunkt bei der Rechnung
1/2 * F_A *L = G_1 * (L - x_1)
in "A" bezogen auf "B".
Müsste dann die Gleichnung nicht so lauten:
F_A * l = G_1 * (L - x_1)
F_A = G_1 *(L-x_1)/L
Wie kommst du auf das 1/2 ?
Cu GrandPa
[ Nachricht wurde editiert von GrandPa am 15.03.2008 23:50:34 ]
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Ex_Mitglied_19661
| Beitrag No.19, eingetragen 2008-03-16
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\quoteon(2008-03-15 23:49 - GrandPa)
Du legst doch den Drehpunkt bei der Rechnung
1/2 * F_A *L = G_1 * (L - x_1)
in "A" bezogen auf "B".
\quoteoff
...nicht ganz. Die Auflagerkraft FA bewirkt ein Moment um B (x-Richtung) und um D (y-Richtung).
\quoteonWie kommst du auf das 1/2 ?
\quoteoff
...zugegenermaßen ein Schwachpunkt. Es muß aber in der Summe sein:
\ll(1) \Sigma F_A = F_A_x + F_A_y
und
\ll(2) F_A + F_B + F_C + F_D = G
Gruß trek
[ Nachricht wurde editiert von trek am 16.03.2008 00:51:03 ]
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GrandPa
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| Beitrag No.20, vom Themenstarter, eingetragen 2008-03-16
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Hi trek,
sorry - man merkt es war schon spät gestern, klar wenn du Fa ansetzt ist der Drehpunkt in "B".
Der Rest ist mir klar. Hast du "1/2" angesetzt wegen G/4 ? Oder nur so ?
Und was kommt für den Punkt "B" als Auflagerkraft heraus ? Es kann ja nach deinem Prinzip pro Achse max. G/4 N herauskommen (G = G1+G2+G3+G4), wenn aber schon Fa_x > G/4 ist, wäre Fb_x 0 bzw. negativ !
Die Berechnung Fax und Fay ist wie die bei chrisss´s Vorschlag. Was mit halt noch nicht klar wird wie der Punktc bzw. die Auflagerkraft in "C" mit einbezogen wird(siehe meine Antwort zu chrisss´s Vorschlag). Diese bewirkt ja auch einen Moment um x und y! Wenn man diese aber mit in der Gleichung einbaut ist eine "Unbekannte" zuviel vorhanden, bzw. eine Gleichung zu wenig!
(1) F_G *(l/2 - y) = (F_Bz * l ) + ( F_Dz * L)
(2) F_G*(b/2 - x) = (F_Cz*b + F_Dz*b)
Gruss GrandPa
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Ex_Mitglied_19661
| Beitrag No.21, eingetragen 2008-03-16
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\quoteon(2008-03-16 13:03 - GrandPa)
Und was kommt für den Punkt "B" als Auflagerkraft heraus ? Es kann ja nach deinem Prinzip pro Achse max. G/4 N herauskommen (G = G1+G2+G3+G4), wenn aber schon Fa_x > G/4 ist, wäre Fb_x 0 bzw. negativ !
\quoteoff
Eben nicht!
Gehen wir von Deiner Beispielrechnung bzw. der nachfolgenden Skizze aus:
Nach der Skizze sind gegeben:
x_1/L = 1/30 und y_1/T = 1/10
Momentengleichung um Pol B:
F_A_x*L = G_1 (L - x_1) = G_1*L(1 - x_1/L) => F_A_x = G_1 (1 - x_1/L)
Momentengleichung um Pol D:
F_A_y*T = G_3 (T - y_1) = G_3*T(1 - x_1/T) => F_A_y = G_3 (1 - y_1/T)
F_A_x + F_A_y = F_A = G_1 (1 - x_1/L) + G_3 (1 - y_1/T)
mit G_1 = G_3 = G/4
F_A = G/4 (1 - x_1/L + 1 - y_1/T)
\small\ \blue\ (also ohne meinen mysteriösen Faktor 1//2, der mehr als flüssig, nämlich überflüssig ist.)
Mit den o.a. gegebenen Lageverhältnissen des Schwerpunktes ergibt sich:
F_A = G/4*56/30
Jetzt zur Lagerkraft F_B:
Momentengleichung um Pol A:
F_B_x*L = G_1*x_1 => F_B_x = G_1*x_1/L
Momentengleichung um Pol C:
F_B_y*T = G_4 (T - y_1) = G_4*T(1 - y_1/T) => F_B_y = G_4 (1 - y_1/T)
F_B_x + F_B_y = F_B = G_1*x_1/L + G_4 (1 - y_1/T)
mit G_1 = G_4 = G/4
F_B = G/4 (1 + x_1/L - y_1/T) = G/4*28/30
In gleicher Weise werden die Momentengleichungen für die Kräfte an den Lagerpunkten C und D aufgestellt.
Letzendlich ergibt sich, dass die Gleichung
F_A + F_B + F_C + F_D = G
erfüllt ist.
Gruß trek
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GrandPa
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| Beitrag No.22, vom Themenstarter, eingetragen 2008-03-16
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Vielen Dank Trek,
ich werde mir das in Ruhe zu Gemüte führen !
Ich hoffe ich muss dich dann nicht mehr "belästigen"
Schöne Woche!
GrandPa!
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Elektrokuss
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Dabei seit: 24.03.2008
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| Beitrag No.23, eingetragen 2008-03-24
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Ich würde die Platte praktisch wie folgt berechnen:
Annahmen:
Die Punkte A-D habe ich so gewählt, wie in der Themenstellung,
in C gelenkig gelagert, in A unterstützt und in x Richtung gehalten, in B und D nur für die vertikale Richtung unterstützt, Platte ideal starr, d.h. im Grunde genommen eine statisch bestimmte Annahme. Aber das sollte für die Abschätzung der Auflagerlasten eigentlich keinen Einfluss haben. Wichtig sind eigentlich nur die Lagerbedingungen, damit sich die Platte bei Belastung frei verformen kann.
Die Verteilung der 4 vertikalen Stützlasten würde ich durch eine Reduktion der räumlichen Aufgabe auf ein 2D System berechnen. Das sind die Einflussbreiten der Lasten, welche konservativ angesetzt werden.
Abmessungen: Die größere Abmessung der Platte ist die Länge l, die kleinere die Breite b.
y ist der variable und absolute Abstand der Einzellast vom Punkt C über die Breite der Platte.
x ist der variable Abstand der Einzellast vom Punkt C über die Länge der Platte.
Den Nullpunkt setze ich beim Auflager C an, die Richtungen von x und y in der Zeichenebene belasse ich wie ihr das annehmt.
d.h. z.B. über die Länge L:
System über die Längsrichtung Punkte C-D:
Anteil der Vertikalkraft Fz C-D = (1-y/b) * Fz, wobei Fz ist die Gewichtskraft auf die Platte ist
Damit kann man für den Schnitt C-D die Momentengleichung des stat. bestimmten Trägers anwenden, um z.B. die Auflagerkraft in D zu bestimmen.
(Fz C-D) * x - FD * l = 0,
FD = (Fz C-D) * x/l
Weiters kann man dann die vertikale Auflagerkraft für den Punkt C mit der Summe der Kräfte in Richtung z bestimmen.
Fc + Fd - (Fz C-D) = 0
Fc = (Fz C-D) - Fd
Das gleiche Verfahren kann man dann sinngemäß für die Punkte A-B anwenden.
Anteil der Vertikalkraft Fz A-B = Fz - Fz C-D
Fz A-B * x - FB * l = 0
FB = Fz A-B * x/l
FA = Fz A-B - FB
Für das Beispiel ergibt das wie folgt:
Geg. L = 3m, b= 2m, x=0.1 m , y=0.2 m, G = Fz = 4000N (die Abstände x und y werden vom Punkt C aus gemessen!)
Damit für Schnitt C-D:
FzC-D = (1-y/b) * Fz = (1-0.2/2) * 4000N = 3600 N
FD = Fz C-D * x/l = 3600N*(0.1/3) = 120 N
Fc = 3600N - 120 N = 3480 N
Fz A-B = Fz - FzC-D = 4000 N - 3480 N = 520 N
FB = 520N * 0.1m/3m = 17.3`N
FA = 520N -17.3N = 502.7 N
Das klingt auch plausibel, da die vertikale Belastung sehr nahe am Punkt C liegt und damit dieses Auflager auch den größten Anteil abtragen muss.
Die restlichen Punkte sind weiter von der aktiven Last entfernt, haben damit größere Hebel zur Verfügung und damit auch kleinere Auflagerlasten als Reaktionskräfte.
Gruß, - Elektrokuss (kein Mathematiker)
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GrandPa
Senior
Dabei seit: 08.03.2008
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| Beitrag No.24, vom Themenstarter, eingetragen 2008-03-24
|
Hi Elektrokuss,
danke für deinen Lösungsvorschlag.
Kannst du mal bitte eine zweite Rechnung durchführen, wenn Fg = 10.000 N ist und der Schwerpunkt von dem geometrischen Mittelpunkt der rechteckigen Fläche um 0,2 m nach unten (y-Richtung) und O,1 m nach links (x-richtung) verschoben wird.
Abb. Nach diesen Koordinaten
Dann kann ich deine Ergebnisse mit meinen vergleichen .
Ich habe mir auch schon überlegt es über das Vektorrprodukt zu berechnen. jedes Moment ist ja eines aus M^> = F^> * L^>
Das würde doch bedeuten, daß die Summe aller Momente = Flächen = der Fläche L * T sein müsste.
Die Teilmomente, also durch die Auflagerkräfte sind vier Teilflächen (Vektorprodukte).
Und jede Teifläche steht in einem Verhältnis zu Gesamtfläche "L * T"(Summe aller Momente)
Die Reaktionskraft in A zum Beispiel:
F_Ax = G´* x_2/L
F_Ay = G´* y_2/T
F_A = (x_2/L) * (y_2/T) *G <=> (x_2*y_2)/(L*T)
usw.
Gruss GrandPa
[ Nachricht wurde editiert von GrandPa am 24.03.2008 19:35:47 ]
[ Nachricht wurde editiert von GrandPa am 16.12.2008 15:19:19 ]
[ Nachricht wurde editiert von trek am 17.09.2010 00:55:04 ]
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Elektrokuss
Neu
Dabei seit: 24.03.2008
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| Beitrag No.25, eingetragen 2008-03-24
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Hallo GrandPa,
ich habe mir das mit den 10.000 N noch einmal angesehen.
Meine Ergebnisse sind damit wie folgt:
Für die Achse A-B
FzAB = (1-800mm/2000mm)*10000N = 0.6 * 10000N = 6000 N
Momentengleichung: Summe der Momente um A=0
FzAB * x - l * FB = 0
FB = FzAB * x/l = 6000N*1400/3000 = 2800 N
Kräftegleichgewicht für Achse A-B in z Richtung
FA-FzAD+FB = 0
FA = FzAB-FB = 6000N - 2800N = 3200N
Für die Achse D-C
FzDC = Fz-FzAB = 10000N - 6000 N = 4000N
Momentengleichung: Summe der Momente um D=0
FzDC*x - FC*l = 0
4000N * 1400mm - FC * 3000mm = 0
FC= 4000N * 1400mm/3000mm = 1866.6`N
Kräftegleichgewicht für Achse D-C in z Richtung
FD = 4000N - 1866.6`N =2133.3`N
Noch einmal zusammengefasst:
FA = 3200 N
FB = 2800 N
FC= 1866.6`N
FD = 2133.3`N
Ich hab`s zur Kontrolle auch numerisch mit FEM kontrolliert – es sollte soweit stimmen.
Gruß, Elektrokuss
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GrandPa
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| Beitrag No.26, vom Themenstarter, eingetragen 2008-03-24
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Hallo Elektrokuss,
genau das habe ich auch raus !!
Klasse, danke!
Dann gibt es doch eine Lösung, obwohl es statisch unbestimmt ist!
Ist eigentlich mein Ansatz total falsch (komme ja auf die gleichen Ergebnisse) und es war nur Zufall oder ist es so auch zu erklären ?!
Gruss Grandpa!
[ Nachricht wurde editiert von GrandPa am 24.03.2008 22:16:41 ]
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Elektrokuss
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Dabei seit: 24.03.2008
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| Beitrag No.27, eingetragen 2008-03-25
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Hallo GrandPa,
schön wenn die Lösungen übereinstimmen, die numerische Berechnung hat ja auch näherungsweise diese Auflagerlasten gezeigt.
Das mit dem statisch unbestimmt ist ja sicherlich richtig, ich habe aber eine gewisse statische Bestimmtheit im Hintergrund.
Für die Achse A-B habe ich das Lager A vollständig in alle 3 Richtungen gesperrt, aber nicht eingespannt, bei Lager B habe ich nur unterstützt, damit kann sich mein angenommener Träger von A nach B frei verformen und ich darf ein Momentengleichgewicht nach der üblichen Forderung Summe der Momente = 0 ansetzen.
Für die Achse D-C gilt sinngemäß das gleiche, Lager B ist in x Richtung fixiert, aber zusätzlich in y Richtung frei, wenn ich in y Richtung gesperrt hätte, wäre ja eine gegenseitige Beeinflussung der angenommenen Träger da und ich hätte nicht so rechnen dürfen.
Ich habe heute aber meinen Statiker gefragt, der bei solchen Ansätzen normalerweise immer Bescheid weiß.
Seine Erklärung ist stichwortartig wie folgt:
- es handelt sich um ein symmetrisches, ja sogar um ein
doppelsymmetrisches System
- Damit hat diese Platte bezüglich aller 4 Eckpunkte gleiche
Steifigkeit, womit unser Ansatz richtig ist
- Bei symmetrischen Systemen ist es zulässig mit
Momentengleichgewichten zu rechnen, die Summe der Momente muss
um jeden Punkt 0 sein
- Das System ist wie gesagt statisch unbestimmt, lässt sich aber
aufgrund der Symmetrie reduzieren, weil gleiche Steifigkeiten
vorhanden sind
- Die 4 Punkte sind alle gleicher Art, deswegen sind die Ansätze
nach statischen Grundsätzen vertretbar
- Würde man einen Punkt verschieben, - z.B. Auflager B in die Platte schieben, hätte dieser
Bereich eine andere Steifigkeit, das heißt in diesem Bereich wäre die Platte weicher,
dann bekommt ein anderes Lager mehr Auflagerlast ab, damit findet somit eine Umlagerung
der Lasten statt
- Demnach dürfen auch keine inneren Verformungen stattfinden, es
dürfen auch keine Einspannungen vorhanden sein
Ich habe jetzt zur Kontrolle das Auflager B verschoben. Man sieht, dass völlig andere Auflagerlasten vorhanden sind, da die Lastabtragung anders erfolgt, weil die inneren Schnittgrößen auch nicht mehr homogen verteilt sind. Das würde sich dann analytisch nicht mehr einfach bestimmen lassen.
Aber so weit, so gut, für die Auflagerung ohne Einspannung und eine rechteckige Verteilung der Auflager war unsere (Be)Rechnung richtig.
Gruß- Elektrokuss
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[ Nachricht wurde editiert von trek am 17.09.2010 00:46:18 ]
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GrandPa
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| Beitrag No.28, vom Themenstarter, eingetragen 2008-03-26
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Hi Elektrokuss,
zunächst vielen Dank nochmals, für deine Bemühungen und Berechnungen!
Ist klar, man muss mit einer unendlich steifen Platte rechnen (ich habe ja Stäbe) genommen.
Sobald Verformungen mit hinzu kommen wird es schwierig, aber so wird ja oft gerechnet und für eine Näherung genügt dies ja auch.
Schwieriger wird die Sache, wenn man noch dynamische Kräfte/Momente wirken lässt, die oberhalb der "Platte" wirken.
Kannst du was zu meinem Lösungsgedanken sagen?
Gruss GrandPa
[ Nachricht wurde editiert von GrandPa am 26.03.2008 17:22:20 ]
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Elektrokuss
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| Beitrag No.29, eingetragen 2008-03-26
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Hallo GrandPa,
auf die Schnelle:
Es scheint vom Gedanken aus der gleiche Ansatz zu sein, nur, dass ich ihn über die Kräfte und Längen angesetzt habe, du zum Verhältnis der Gesamtfläche. Übrigens ist dein Ansatz schöner, meiner ist in zwei Schritte getrennt und damit unübersichtlicher.
z.B.
Für die Achse A-B
GrandPa:
FB = 1.4 m * 1.2 m / (3m * 2 m) * Fz = 0.28 * 10.000 N = 2800 N
-----------------------------------------------------------------------------
Elektrokuss:
FzAB = (1-800mm/2000mm)*10000N = 0.6 * 10000N = 6000 N
FB = FzAB * x/l = 6000N*1400/3000 = 2800 N
In meinem (1-800/2000) * 10000 = 0.6 steckt dein 1.2/2 = 0.6
In meinem (1400/3000) = 0.4666 steckt dein 1.4m/3m
Fazit: 0.6 * 0.4666 * 10000 N = 0.28 * 10000 N = FB = 2800 N
Viele Wege führen nach Rom ...
Schönen Abend und Gruß - Elektrokuss
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GrandPa
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| Beitrag No.30, vom Themenstarter, eingetragen 2008-03-27
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Hallo Elektrokuss,
danke für deine Antwort.
Ich bin halt davon ausgegangen, daß ein Moment das Vektorprodukt aus F^> * L^> (Winkel cos90°=0) ist, also letztendlich ja einer Fläche
entspricht. Und die Einzelmomente (= Flächen) in einem Verhältnis zur Summe aller Momente stehen muss. Habe aber ehrlich gesagt ne Weile gebraucht um zu verstehen, daß immer die gegenüberliegende Fläche dem
diagonal gegenüberliegenden Auflagepunkt zuzurechnen ist.
Ja die Wege nach Rom  - sind hier aber sehr verschlungen gewesen!
Gruss GrandPa
[ Nachricht wurde editiert von GrandPa am 16.12.2008 15:20:09 ]
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AMerase
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| Beitrag No.31, eingetragen 2010-09-14
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Hallo!
Ich muss das Thema noch mal hochholen. Ich bin gerade mit dem gleichen Problem beschäftigt.
Bei einem symmetrischen (quadratischen, rechteckigen) Tisch ist die Aufteilung der Kraft, die im Schwerpunkt wirkt, einfach. Wie von GrandPa geschrieben geht das mit dem Verhältnis der Flächen. Was ist allerdings bei einer Konfiguration, wie in Beitrag 27? Das dort gezeigte Ergebnis der FEM kann ich nicht glauben. zumal die Summe der einzelnen Auflagerkräfte schon die Kraft im Schwerpunkt übersteigt.
Gibt es zur Berechnung der Auflagerkräfte für den nicht-symmetrischen Fall irgendwelche Ideen?
Mein Ansatz war die Lösung mittels eines Gleichungssystems. Für einen Tisch auf 3 Beinen kann man ja 3 Gleichungen aufstellen. Eine aus der Kräftefreiheit und zwei aus der Momentenfreiheit. Also 3 Gleichungen für 3 Unbekannte. Das schreibt man in eine Matrix (3x3) und invertiert sie, fertig.
Für 4 Beine kann man das analog machen. Allerdings hat man eine Gleichung zu wenig, weshalb man auf eine nicht-quadratische Matrix (4x3) kommt. Diese kann man nun mittels der Pseudoinversen lösen. Das Ergebnis für das dargestellte Beispiel wäre
FA = 3836
FB = 3606
FC = 2022
FD = 536
Das sieht auch plausibel aus. Man kann das mit vielen Beispielen machen und das Ergebnis scheint immer zu stimmen. Warum ist das so? Hat dazu jemand eine Idee?
Viele Grüße
Simon
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GrandPa
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| Beitrag No.32, vom Themenstarter, eingetragen 2010-09-15
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Hallo AMerase,
also ich rechne nach dem nachfolgenden Schema, daß passt ganz gut:
LG GrandPA
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AMerase
Junior
Dabei seit: 14.09.2010
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| Beitrag No.33, eingetragen 2010-09-15
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Hi!
Danke für die Antwort!
Für einen Tisch, dessen Beine an den Ecken des Rechtecks/Quadrats liegen, ist das ein praktikabler und einfacher Weg. Schwierig wird es eben dann, wenn das nicht mehr der Fall ist. Und genau dafür suche ich eine Lösung.
Alle Bemühungen sind gescheitert. Sowohl die Suche im Internet als auch in Büchern zu technischer Mechanik. Eventuell ist das Problem so simpel, dass es nirgendwo erklärt wird? (das kann ich aber so recht nicht glauben)
Ich freue mich in jedem Fall über Vorschläge/Tipps/Literatur ...
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GrandPa
Senior
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| Beitrag No.34, vom Themenstarter, eingetragen 2010-09-16
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Hallo,
meinst du es so wie in der nachfolgenden Skizze dargestellt ?
LG GrandPa
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AMerase
Junior
Dabei seit: 14.09.2010
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| Beitrag No.35, eingetragen 2010-09-17
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Ja, genau so!
Prinzipiell suche ich eine universelle Lösung. Also für beliebige Koordinaten und n Füße.
Was Besseres als die Pseudoinverse ist mir nicht eingefallen. Und da bin ich mir nicht mal sicher, dass das Ergebnis stimmt, auch wenn es plausibel scheint.
Viel Grüße
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GrandPa
Senior
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| Beitrag No.36, vom Themenstarter, eingetragen 2010-09-17
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Hi AMerase,
welches Ergebnis bzw. Beispiel nimmst du nochmals für dein Berechnungen ?
Ich finde jetzt nicht den richtigen Beitrag # !
LG GRANDPA
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StefanVogel
Senior 
Dabei seit: 26.11.2005
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| Beitrag No.37, eingetragen 2010-09-19
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Hallo AMerase,
solange die Möglichkeit offen ist, biegt sich doch eine ebene Platte eher zylinderförmig und nicht kugelförmig. Laufe ich auf einer quadratischen Platte ABCD vom Mittelpunkt der Seite AB zum Mittelpunkt S der Platte, richtet sich die Zylinderachse parallel zur Seile BC aus. Laufe ich vom Mittelpunkt der Seite BC aus zu S, dann richtet sich die Zylinderachse senkrecht zu BC aus. Ich erhalte so für die gleiche Belastung zwei verschiede, gleichwertige Lösungen. Wegen der Symmetrie hat das keinen Einfluss auf die Auflagerkräfte in den vier Eckpunkten. Jetzt sind aber auch beliebig weitere Stützen ausserhalb von ABCD erlaubt. Diese werden dann abwechselnd auf Zug oder Druck beansprucht.
Bei der Pseudoinversen ist mir folgender Effekt aufgefallen: Man muss in allen Lagerpunkten die gleiche Maßeinheit verwenden. Im statisch bestimmten Fall ist das nicht nötig. Zur Vereifachung rechne ich ein 2x2 Sytem, x und y sollen beide in N bestimmt werden:
\
(1,2;1,1)(x;y)=(4;3)
dafür erhalte ich die Lösung
(x;y)=(1,2;1,1)^(-1)*(4;3)=(-1,2;1,-1)*(4;3)=(2;1)
nun möchte ich x in kN und y in N bestimmen, dafür muss ich die erste Spalte der Matrix mit 1000 multiplizieren
(1000,2;1000,1)(x;y)=(4;3)
erhalte aber die erwartete Lösung
(x;y)=(1000,2;1000,1)^(-1)*(4;3)=(0.001,-0.002;-1,1)*(4;3)=(0.002;1).
denn in der inversen Matrix ist die erste Zeile durch 1000 geteilt worden. Nun rechne ich ein 2x3 System, da erhalte ich mit der Pseudoinversen einmal
(1,2,3;1,1,1)(x;y;z)=(4;3) mit der Lösung (x;y;z)=(2;1;0) und bei
(1000,2,3;1000,1,1)(x;y;z)=(4;3) gerundet (x;y;z)=(0.0024;0.2;0.4)
Das spricht doch eher gegen die Pseudoinverse als Lösungsweg, weil solche Berechnungen für verschiedene Maßeinheiten funktionieren sollten, auch wenn das praktisch eher unwahrscheinlich ist.
Viele Grüße,
Stefan
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AMerase
Junior
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| Beitrag No.38, eingetragen 2010-09-20
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Hallo und vielen Dank für die Antworten!
Zuerst @StefanVogel:
Ich gehe bei meinen Betrachtungen eher davon aus, dass die Tischplatte unendlich steif ist. Sie selbst soll sich nicht verformen. Stellt man Waagen (=Federn) unter die einzelnen Füße, dann sollen nur dort Verformungen (=Längenänderung) auftreten.
Es ist klar, dass die Pseudoinverse keine verwertbaren Ergebnisse liefert, wenn man die Maßsysteme vermischt. Aus Wikipedia:\quoteon Mit ihr kann man bei linearen Ausgleichsproblemen die optimale Lösung mit kleinster euklidischer Norm berechnen.
\quoteoff Insofern liefert das nur Ergebnisse für gleiche Maßeinheiten.
@GrandPa:
Ich gehe einfach mal von dem Beispiel in #24 bzw. #27 aus: Ein Viereck mit den Eckpunkten:
A = (0/0)
B = (3/0)
C = (3/2)
D = (0/2)
Die Kraft wirkt im Schwerpunkt S = (1.4/0.8)
Damit liefert die Rechnung mit der Pseudoinversen:
FA = 3167 N
FB = 2833 N
FC = 1833 N
FD = 2167 N
Das sind also andere Ergebnisse als es die FEM-Rechnung liefert und auch andere, als die geometrische Betrachtung. Die Abweichung ist aber nicht groß.
Dafür liefert sie für den verschobenen Fuß B bessere Ergebnisse als die FEM, bei der noch nicht mal die Summe der Kräfte hinkommt. Für das Viereck:
A = (0/0)
B = (2.2/0.8)
C = (3/2)
D = (0/2)
erhält man
FA = 3836 N
FB = 3606 N
FC = 2022 N
FD = 535 N
Nun weiß ich nicht weiter. Es kann doch eigentlich nicht so kompliziert sein. Nur leider habe ich bis jetzt noch keinen wirklich befriedigenden Lösungsansatz gefunden.
Ideen?
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StefanVogel
Senior
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| Beitrag No.39, eingetragen 2010-09-25
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Hallo Simon,
beim verschobenen Fuß B in Beitrag No. 27 würde die Summe der Kräfte Null ergeben, wenn man im Punkt C den Wert -554 verwendet. Vielleicht ist dort das Vorzeichen durch andere Bildpunkte überdeckt, oder der Kraftpfeil war von oben nach unten eingezeichnet und wurde bei der Korrektur wegen Überbreite weggelassen.
Wenn sich die Tischplatte nicht verformt, dann erhält man die vierte fehlende Gleichung aus der Bedingung, dass alle Punkte A, B, C und D in einer Ebene liegen. FA, FB und FC bewirken eine Längenänderung LA, LB, LC in den Federn der Waagen A, B, C. Damit ist aber automatisch auch die Längenänderung LD im Punkt D bestimmt und über die Federkonstante auch die Kraft FD. Für den rechteckigen Tisch erhalte ich so zum Beispiel die Bedingung, dass die Summe der Kräfte gegenüberliegender Ecken gleich ist, FA+FC=FB+FD, falls alle Federkonstanten gleich sind. Meine Ergebnisse:
A = (0/0)
B = (3/0)
C = (3/2)
D = (0/2)
S = (1.4/0.8), F=10000 N
FA = 3167 N
FB = 2833 N
FC = 1833 N
FD = 2167 N
Das ist die gleiche Lösung wie die mit der Pseudoinversen.
A = (0/0)
B = (2.2/0.8)
C = (3/2)
D = (0/2)
S = (1.4/0.8), F=10000 N
FA = 3147 N
FB = 4755 N
FC = 1180 N
FD = 918 N
Das ist eine andere Lösung als die mit der Pseudoinversen.
Viele Grüße,
Stefan
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